Rangkuman Teori & Formula Kunci
Dalam soal OSN Matematika tingkat Kabupaten/Kota hingga Nasional, bab **Statistik Sederhana** sering kali digabungkan dengan manipulasi aljabar, pertidaksamaan (AM-GM, Cauchy-Schwarz), serta sifat-sifat barisan.
Rata-rata (Mean) & Gabungan
$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$
Rataan Gabungan:
$\bar{x}_{gab} = \frac{n_1 \bar{x}_1 + n_2 \bar{x}_2 + \dots + n_k \bar{x}_k}{n_1 + n_2 + \dots + n_k}$
Varians ($s^2$) & Deviasi Standar ($s$)
$s^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^2 - (\bar{x})^2$
Trik OSN: Gunakan bentuk $\sum x_i^2 = n(s^2 + \bar{x}^2)$ untuk hubungan aljabar kuadratik.
Pergeseran & Skalasi Data
Jika data $x_i$ diubah menjadi $y_i = a x_i + b$:
- Mean/Median/Modus baru: $\bar{y} = a\bar{x} + b$
- Jangkauan/Simpangan baru: $J_y = |a| J_x$ (abaikan $b$)
- Varians baru: $s_y^2 = a^2 s_x^2$
Hubungan AM-GM & Varians
Untuk $x_i > 0$:
$\text{AM} \ge \text{GM} \iff \frac{\sum x_i}{n} \ge \sqrt[n]{x_1 x_2 \dots x_n}$
Kapan kesamaan berlaku? Ketika $x_1 = x_2 = \dots = x_n$ (Varians $s^2 = 0$).